Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit



def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

hoogte = 0.04945                #m
buitendiameter = 0.04750        #m
binnendiameter = 0.04452        #m

buitenoppervlak = buitendiameter * np.pi * hoogte       #m^2
binnenoppervlak = binnendiameter * np.pi * hoogte       #m^2
massa = 2.7e3 * (((np.pi * (buitendiameter/2)**2)-(np.pi * (binnendiameter/2)**2)) * hoogte)        #kg
warmtecapaciteit = massa * 8.8e2                                                                    #J/K

times = np.array([0, 7.53, 19.53, 34.9, 52.59, 67.35, 88.11, 112.39, 146.49, 191.84, 229.58, 295.51, 408.99, 675.57])        #s
temps = np.arange(39,25,-1)     #˚C

times_dop = np.array([0, 14.12, 22.00, 28.86, 36.46, 45.65, 54.78, 65.28, 75.94, 86.80, 98.26, 112.63, 129.55, 
                      146.99, 165.32, 187.22, 214.15, 243.84, 281.12, 343.08, 422.03, 544.67])                               #s
temps_dop = np.arange(47,25,-1) #˚C


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
#Fit zonder dop
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[temps[0]-22, times[-1], 22], maxfev=5000)
A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt
y_fit = exp_func(times, *popt)

#Fit met dop
popt_dop, pocv_dop = curve_fit(exp_func, times_dop, temps_dop, p0=[temps_dop[0]-22, times_dop[-1], 22], maxfev=5000)
A_exp_dop, tau_exp_dop, T_omg_exp_dop = popt_dop
y_fit_dop = exp_func(times_dop, *popt_dop)

#Plotten met fit
plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

#Plot zonder dop
plt.plot(times, temps, 'b.', label='Measurement zonder dop')
plt.plot(times, y_fit, 'r--', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

#Plot met dop
plt.plot(times_dop, temps_dop, 'c.', label='Measurement met dop')
plt.plot(times_dop, y_fit_dop, 'y--', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp_dop, tau_exp_dop, T_omg_exp_dop))

plt.legend()
plt.show()

#Gevonden zonder dop
h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
print('Met dop h = ' + str(h_exp))
print('Met dop tau = ' + str(tau_exp_dop))

#Gevonden zonder dop
h_exp_dop = (warmtecapaciteit) / (tau_exp_dop * buitenoppervlak)
print('Zonder dop h = ' + str(h_exp_dop)) 
print('Zonder dop tau = ' + str(tau_exp_dop))

# warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

Met dop h = 22.174611193689902
Met dop tau = 154.1568760016361
Zonder dop h = 22.244796015561718
Zonder dop tau = 154.1568760016361

Discussie en conclusie¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
- De tau is voor beide met en zonder dop zo goed als hetzelfde: 154.16
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
- h met dop: 22.17
- h zonder dop: 22.24
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
- Volgens de TA waar we de gegevens aan het einde van het lab moesten inleveren zaten we redelijk conform de rest van de groepjes.
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.
- Het deel van de overdrachtscoëfficiënt dat door convectie komt zal het verschil tussen met en zonder dop zijn. Dus ~0.07 W/m^2*K, wat in verhouding zeer klein is.
- Geleiding en straling zullen bij beide de met en zonder dop gevallen zo goed als hetzelfde zijn. Het is dus moeilijk uit dit experiment te weten welk deel naar welk gaat. Maar gezien de metalen houder niet (gevoels-)heet werd tijdens het experiment, zal het overgrote deel aan de straling liggen.